Решите уравнение \( \sqrt{-12-7x} = -x \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{-12-7x} = -x \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( -12-7x \ge 0 \). Также, поскольку квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: \( -x \ge 0 \), что означает \( x \le 0 \).
2. Из \( -12-7x \ge 0 \) следует \( -7x \ge 12 \), а значит \( x \le -\frac{12}{7} \).
3. Объединяя условия \( x \le 0 \) и \( x \le -\frac{12}{7} \), получаем ОДЗ: \( x \le -\frac{12}{7} \).
4. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{-12-7x})^2 = (-x)^2 \)
5. \( -12-7x = x^2 \)
6. Приведём к квадратному уравнению: \( x^2 + 7x + 12 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение: Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \). \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \).
8. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7+1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
9. \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7-1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
10. Проверим корни на соответствие ОДЗ (\( x \le -\frac{12}{7} \)):
11. \( x_1 = -3 \). Так как \( -3 \le -\frac{12}{7} \) (т.к. \(-3 = -21/7 \) и \(-12/7 \)), то \( x_1 = -3 \) является корнем.
12. \( x_2 = -4 \). Так как \( -4 \le -\frac{12}{7} \) (т.к. \(-4 = -28/7 \) и \(-12/7 \)), то \( x_2 = -4 \) является корнем.
13. Сравним корни: \( -3 \) и \( -4 \). Больший корень — \( -3 \).

Ответ: -3