Решите уравнение \(\sqrt{2} \cos(\pi x) \cdot \sin(\pi x) = \cos(\pi x).\n В ответе запишите больший из корней, принадлежащий отрезку [4; 5].

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \).
   \( \sqrt{2} \cos(\pi x) \cdot \sin(\pi x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(2\pi x) \).
   Уравнение примет вид: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(2\pi x) = \cos(\pi x) \).
2. Шаг 2: Перенесем все члены уравнения в одну сторону и разложим на множители.
   \( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(2\pi x) - \cos(\pi x) = 0 \)
   Используем формулу синуса двойного угла \( \sin(2\pi x) = 2\sin(\pi x)\cos(\pi x) \):
   \( \frac{\sqrt{2}}{2} (2\sin(\pi x)\cos(\pi x)) - \cos(\pi x) = 0 \)
   \( \sqrt{2} \sin(\pi x)\cos(\pi x) - \cos(\pi x) = 0 \)
   Вынесем \( \cos(\pi x) \) за скобки:
   \( \cos(\pi x) (\sqrt{2} \sin(\pi x) - 1) = 0 \).
3. Шаг 3: Найдем корни уравнения, приравнивая каждый множитель к нулю.
   Случай 1: \( \cos(\pi x) = 0 \)
   \( \pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
   \( x = \frac{1}{2} + k \).
   Случай 2: \( \sqrt{2} \sin(\pi x) - 1 = 0 \)
   \( \sin(\pi x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   \( \pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( \pi x = \rac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
   \( x = \frac{1}{4} + 2n \) или \( x = rac{3}{4} + 2n \).
4. Шаг 4: Определим, какие из найденных корней принадлежат отрезку [4; 5].
   Для корней \( x = \frac{1}{2} + k \):
   Если \( k = 4 \), то \( x = \frac{1}{2} + 4 = 4.5 \). Этот корень принадлежит отрезку [4; 5].
   Если \( k = 5 \), то \( x = \frac{1}{2} + 5 = 5.5 \). Этот корень не принадлежит отрезку.
   Для корней \( x = \frac{1}{4} + 2n \):
   Если \( n = 1 \), то \( x = \frac{1}{4} + 2 = 2.25 \). Не принадлежит отрезку.
   Если \( n = 2 \), то \( x = \frac{1}{4} + 4 = 4.25 \). Этот корень принадлежит отрезку [4; 5].
   Для корней \( x = rac{3}{4} + 2n \):
   Если \( n = 1 \), то \( x = rac{3}{4} + 2 = 2.75 \). Не принадлежит отрезку.
   Если \( n = 2 \), то \( x = rac{3}{4} + 4 = 4.75 \). Этот корень принадлежит отрезку [4; 5].
5. Шаг 5: Выберем больший из корней, принадлежащих отрезку [4; 5].
   Найденные корни: 4.5, 4.25, 4.75.
   Наибольший корень — 4.75.

Ответ: 4.75