Решите уравнение \(\sqrt{2-x} + \sqrt{x+3} = 3\)

Решение:

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения возведём обе части уравнения в квадрат:

\( \sqrt{2-x} + \sqrt{x+3} = 3 \)

Возведём обе части в квадрат:

\( (\sqrt{2-x} + \sqrt{x+3})^2 = 3^2 \)

\( (2-x) + (x+3) + 2\sqrt{(2-x)(x+3)} = 9 \)

\( 5 + 2\sqrt{-x^2 - x + 6} = 9 \)

Изолируем корень:

\( 2\sqrt{-x^2 - x + 6} = 4 \)

\( \sqrt{-x^2 - x + 6} = 2 \)

Снова возведём обе части в квадрат:

\( -x^2 - x + 6 = 4 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( -x^2 - x + 2 = 0 \)

Умножим на -1 для удобства:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна \(-1\), а произведение равно \(-2\). Корнями являются \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\).

Проверим найденные корни в исходном уравнении:

При \(x = 1\):

\( \sqrt{2-1} + \sqrt{1+3} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \). Верно.

При \(x = -2\):

\( \sqrt{2-(-2)} + \sqrt{-2+3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3 \). Верно.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 1; -2.