Решите уравнение \(\sqrt{3} \text{tg } x = 2 \sin x\) и найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \].

Решение:

Дано уравнение: \(\sqrt{3} \text{tg } x = 2 \sin x\)

1. Преобразуем уравнение, используя \(\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}\):
   \(\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x\)
2. Перенесём всё в левую часть:
   \(\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} - 2 \sin x = 0\)
3. Вынесем \(\sin x\) за скобки:
   \(\sin x \left( \frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 2 \right) = 0\)
4. Это уравнение распадается на два случая:
   a) \(\sin x = 0\)
   b) \(\frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 2 = 0\)
5. Решим первый случай: \(\sin x = 0\)
   \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
6. Решим второй случай: \(\frac{\sqrt{3}}{\cos x} - 2 = 0\)
   \(\frac{\sqrt{3}}{\cos x} = 2\)
   \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
   \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)
7. Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \].
8. Проверим корни из \(x = \pi k\):
   При \(k = 3\): \(x = 3\pi\). \(3\pi = \frac{6\pi}{2}\), что больше \(\frac{5\pi}{2}\). \(3\pi = \frac{12\pi}{4}\), что меньше \(4\pi\). Значит, \(3\pi\) подходит.
   При \(k = 4\): \(x = 4\pi\). \(4\pi\) принадлежит отрезку.
   При \(k = 2\): \(x = 2\pi\), что меньше \(\frac{5\pi}{2}\).
9. Проверим корни из \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\):
   При \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\). \(\frac{13\pi}{6} = \frac{26\pi}{12}\), \(\frac{5\pi}{2} = \frac{30\pi}{12}\). \(\frac{13\pi}{6}\) меньше \(\frac{5\pi}{2}\).
   При \(n = 2\): \(x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}\). \(\frac{25\pi}{6} = \frac{50\pi}{12}\). \(4\pi = \frac{48\pi}{12}\). \(\frac{25\pi}{6}\) больше \(4\pi\).
   Сравним \(\frac{25\pi}{6}\) и \(4\pi\): \(\frac{25\pi}{6} > \frac{24\pi}{6} = 4\pi\). Этот корень не подходит.
   Проверим \(x = \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}\). \(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\) не может дать \(\frac{5\pi}{2}\).
10. Проверим корни из \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\):
    При \(n = 1\): \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}\). \(\frac{11\pi}{6}\) меньше \(\frac{5\pi}{2}\).
    При \(n = 2\): \(x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}\). \(\frac{23\pi}{6} = \frac{46\pi}{12}\). \(4\pi = \frac{48\pi}{12}\). \(\frac{23\pi}{6}\) меньше \(4\pi\).
    Сравним \(\frac{23\pi}{6}\) с \(\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}\): \(\frac{23\pi}{6} > \frac{15\pi}{6}\).
    Сравним \(\frac{23\pi}{6}\) с \(4\pi = \frac{24\pi}{6}\): \(\frac{23\pi}{6} < \frac{24\pi}{6}\). Значит, \(\frac{23\pi}{6}\) подходит.
11. Корни, принадлежащие отрезку \[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \], это \(3\pi\), \(4\pi\) и \(\frac{23\pi}{6}\).

Ответ: \(x = \pi k\), \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\), \(k, n \in \mathbb{Z}\). Корни, принадлежащие отрезку \[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \], это \(3\pi\), \(4\pi\) и \(\frac{23\pi}{6}\).