Решите уравнение \( \sqrt{3x+1} = x-1 \). Корни запишите в порядке возрастания без пробелов и других знаков.

Решение:

Дано иррациональное уравнение \( \sqrt{3x+1} = x-1 \). Чтобы его решить, возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{3x+1})^2 = (x-1)^2 \]\[ 3x+1 = x^2 - 2x + 1 \]\[ x^2 - 2x + 1 - 3x - 1 = 0 \]\[ x^2 - 5x = 0 \]\[ x(x-5) = 0 \]

Получаем два возможных корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \).

Теперь проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для \( x = 0 \):

\[ \sqrt{3 \cdot 0 + 1} = 0 - 1 \]\[ \sqrt{1} = -1 \]\[ 1 = -1 \]

Это равенство неверно, значит, \( x=0 \) не является корнем уравнения.

Проверка для \( x = 5 \):

\[ \sqrt{3 \cdot 5 + 1} = 5 - 1 \]\[ \sqrt{15 + 1} = 4 \]\[ \sqrt{16} = 4 \]\[ 4 = 4 \]

Это равенство верно, значит, \( x=5 \) является корнем уравнения.

Ответ: 5