Решите уравнение: \(\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0\)

Решение:

Для того чтобы сумма двух квадратных корней равнялась нулю, необходимо, чтобы каждый из корней был равен нулю.

1. Рассмотрим первое условие: \(\sqrt{x^2 + 2x} = 0\). Возведем обе части уравнения в квадрат: \(x^2 + 2x = 0\). Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(x + 2) = 0\). Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x_1 = 0\) или \(x_2 = -2\).
2. Рассмотрим второе условие: \(\sqrt{x^2 - 4} = 0\). Возведем обе части уравнения в квадрат: \(x^2 - 4 = 0\). Перенесем \(4\) в правую часть: \(x^2 = 4\). Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x_3 = 2\) или \(x_4 = -2\).
3. Чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно, значение \(x\) должно быть общим для обоих уравнений. Сравнивая полученные значения, видим, что только \(x = -2\) удовлетворяет обоим условиям.
4. Проверим полученное значение \(x = -2\) в исходном уравнении: \(\sqrt{(-2)^2 + 2(-2)} + \sqrt{(-2)^2 - 4} = \sqrt{4 - 4} + \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0\).

Ответ: x = -2.