Решите уравнение tg(π/4 + x) + 1 = 0. В ответ укажите сумму корней, принадлежащих промежутку [-3π/2; π]. Ответ укажите в виде целого числа или конечной десятичной дроби без пробелов между символами, отделив целую часть от дробной с помощью запятой, считая, что π = 3,14.

Решение:

1. Упрощаем уравнение:

   \[ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + 1 = 0 \]

   \[ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = -1 \]

2. Находим общий вид корней:

   Общий вид корней для уравнения \( \operatorname{tg}(y) = -1 \) имеет вид \( y = \frac{3\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

   В нашем случае \( y = \frac{\pi}{4} + x \), поэтому:

   \[ \frac{\pi}{4} + x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \]

   Выражаем \( x \):

   \[ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n \]

   \[ x = \frac{2\pi}{4} + \pi n \]

   \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n \]

3. Находим корни на заданном промежутке:

   Нам нужен промежуток \( \left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right] \). Подставим различные целые значения \( n \) и проверим, попадают ли корни в этот интервал.

   • При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(-2) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \). Этот корень входит в промежуток.
   • При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(-1) = \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi - 2\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \). Этот корень входит в промежуток.
   • При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(0) = \frac{\pi}{2} \). Этот корень входит в промежуток.
   • При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(1) = \frac{3\pi}{2} \). Этот корень не входит в промежуток (больше \( \pi \)).
4. Суммируем корни:

   Найденные корни: \( -\frac{3\pi}{2} \), \( -\frac{\pi}{2} \) и \( \frac{\pi}{2} \).

   Сумма корней:

   \[ S = -\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \]

5. Вычисляем значение с π = 3,14:

   \[ S = -\frac{3 \times 3,14}{2} = -\frac{9,42}{2} = -4,71 \]

Ответ: -4,71