Решите уравнение: tg(pi(x+2)/3) = -sqrt(3). В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение:

Уравнение имеет вид \( \text{tg}(\alpha) = c \), где \( \alpha = \frac{\pi(x+2)}{3} \) и \( c = -\sqrt{3} \).

1. Известно, что \( \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \). Поскольку тангенс — нечётная функция, \( \text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \).
2. Общее решение уравнения \( \text{tg}(\alpha) = -\sqrt{3} \) имеет вид: \[ \alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi n \], где \( n \) — целое число.
3. Подставим \( \alpha = \frac{\pi(x+2)}{3} \): \[ \frac{\pi(x+2)}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n \]
4. Разделим обе части уравнения на \( \pi \): \[ \frac{x+2}{3} = -\frac{1}{3} + n \]
5. Умножим обе части на 3: \[ x+2 = -1 + 3n \]
6. Выразим \( x \): \[ x = -3 + 3n \]
7. Нам нужен наибольший отрицательный корень. Проверим значения \( n \):
   • Если \( n = 0 \), то \( x = -3 \). Это отрицательный корень.
   • Если \( n = 1 \), то \( x = -3 + 3 = 0 \). Это ноль, не отрицательный корень.
   • Если \( n = -1 \), то \( x = -3 - 3 = -6 \). Это отрицательный корень, но он меньше -3.
8. Таким образом, наибольший отрицательный корень равен -3.

Ответ: -3.