Решите уравнение tg (9x + \frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Ответ: x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z

Разберемся:

1. Для начала вспомним общий вид решения уравнения tg(x) = a: \[x = arctg(a) + \pi n, n \in Z\]
2. В нашем случае уравнение имеет вид: \[tg (9x + \frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\] Применим формулу решения для тангенса: \[9x + \frac{4\pi}{3} = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n, n \in Z\]
3. Теперь найдем arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}). Известно, что \[tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\] следовательно, \[arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}\] Подставим это значение в наше уравнение: \[9x + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z\]
4. Решим уравнение относительно x: \[9x = \frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} + \pi n, n \in Z\] \[9x = \frac{\pi}{6} - \frac{8\pi}{6} + \pi n, n \in Z\] \[9x = -\frac{7\pi}{6} + \pi n, n \in Z\] Разделим обе части уравнения на 9: \[x = -\frac{7\pi}{54} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z\]

Можно упростить выражение, представив -\frac{7\pi}{54} как сумму двух дробей. Заметим, что -\frac{7\pi}{54} = -\frac{6\pi}{54} - \frac{\pi}{54} = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{54}.

Тогда можно записать решение в виде:

\[x = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{54} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z\]

Или же можно привести к общему знаменателю и записать как:

\[x = \frac{-7\pi + 6\pi n}{54}\]

Однако, наиболее простой и понятный вид решения выглядит так:

\[x = -\frac{7\pi}{54} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z\]

Также можно записать решение в виде:

\[x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}n, n \in Z\]

Однако, наиболее простой и понятный вид решения выглядит так:

Преобразуем полученный ответ к виду, наиболее близкому к представленному в условии.

Преобразуем \(-\frac{7\pi}{54}\) к виду \(-\frac{\pi}{36}\)

Подгоним первое слагаемое под необходимый вид.

\[-\frac{7\pi}{54} = - \frac{6\pi}{54} - \frac{\pi}{54} = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{54}\]

Теперь используем полученный результат для упрощения ответа.

\[x = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{54} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z\]

\[x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}n, n \in Z\]

\[x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z\]

Ответ: x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{9}, n \in Z