1) Решите уравнение tg x = − 2 sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -3;-

Решаем уравнение tg x = -2sin x:

1. Шаг 1: Выразим tg x через sin x и cos x: \[\frac{\sin x}{\cos x} = -2\sin x\]
2. Шаг 2: Перенесем все в одну сторону: \[\frac{\sin x}{\cos x} + 2\sin x = 0\]
3. Шаг 3: Вынесем sin x за скобки: \[\sin x \left(\frac{1}{\cos x} + 2\right) = 0\]
4. Шаг 4: Уравнение распадается на два случая:
   • \(\sin x = 0\)
   • \(\frac{1}{\cos x} + 2 = 0\)
5. Шаг 5: Решаем первое уравнение: \[\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]
6. Шаг 6: Решаем второе уравнение: \[\frac{1}{\cos x} = -2 \implies \cos x = -\frac{1}{2}\] \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Отбираем корни на отрезке \(\[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\]\):

1. Шаг 1: Корни вида \(x = \pi n\):
   • \(n = -1\): \(x = -\pi\)
   • \(n = 0\): \(x = 0\)
   • \(n = 1\): \(x = \pi\)
2. Шаг 2: Корни вида \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\):
   • \(k = -1\): \(x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}\) (не принадлежит отрезку)
   • \(k = 0\): \(x = \frac{2\pi}{3}\)
   • \(k = 1\): \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}\) (не принадлежит отрезку)
3. Шаг 3: Корни вида \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k\):
   • \(k = -1\): \(x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}\) (не принадлежит отрезку)
   • \(k = 0\): \(x = -\frac{2\pi}{3}\)
   • \(k = 1\): \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}\)

Ответ: Корни уравнения на заданном отрезке: \(-\pi, 0, \pi, \frac{2\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\)