1) Решите уравнение tg x = - sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2]

Решение:

1) Решим уравнение \( tg x = - sin x \).

Запишем тангенс как отношение синуса к косинусу:

\[ \frac{sin x}{cos x} = - sin x \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ \frac{sin x}{cos x} + sin x = 0 \]

Вынесем sin x за скобки:

\[ sin x \cdot (\frac{1}{cos x} + 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ sin x = 0 \] или \( \frac{1}{cos x} + 1 = 0 \)

Решаем первое уравнение:

\[ sin x = 0 \]

Корни этого уравнения:

\[ x = πn, n \in Z \]

Решаем второе уравнение:

\[ \frac{1}{cos x} + 1 = 0 \]\[ \frac{1}{cos x} = -1 \]\[ cos x = -1 \]

Корни этого уравнения:

\[ x = π + 2πk, k \in Z \]

Заметим, что корни \( x = π + 2πk, k \in Z \) являются частным случаем корней \( x = πn, n \in Z \), когда n - нечетное число.

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ x = πn, n \in Z \]

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку \( [-3π; -\frac{3π}{2}] \).

Переберем целые значения n:

Если \( n = -3 \), то \( x = -3π \), что принадлежит отрезку \( [-3π; -\frac{3π}{2}] \).

Если \( n = -2 \), то \( x = -2π \), что не принадлежит отрезку \( [-3π; -\frac{3π}{2}] \).

Если \( n = -1 \), то \( x = -π \), что не принадлежит отрезку \( [-3π; -\frac{3π}{2}] \).

Если \( n = -1.5 \), то \( x = -1.5π = -\frac{3π}{2} \), что принадлежит отрезку \( [-3π; -\frac{3π}{2}] \).

Ответ:

\[ x = πn, n \in Z \]

Корни, принадлежащие отрезку \( [-3π; -\frac{3π}{2}] \): \( -3π; -\frac{3π}{2} \)

Ответ: \(x = πn, n \in Z \); \(-3π; -\frac{3π}{2} \)