Решите уравнение tg x − 3 − 4ctg x = 0.

Область допустимых значений: тангенс и котангенс должны быть определены, поэтому \(\sin x\ne 0\) и \(\cos x\ne 0\).

Положим \(t=\tan x\), тогда \(\cot x=\frac{1}{t}\), где \(t\ne 0\). Получаем:

\[t-3-\frac{4}{t}=0.\]

Умножим на \(t\):

\[t^2-3t-4=0,\qquad (t-4)(t+1)=0.\]

Следовательно, \(t=4\) или \(t=-1\). Оба значения допустимы.

Тогда \(\tan x=4\) или \(\tan x=-1\), откуда

\[x=\arctan 4+\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Ответ: \(x=\arctan 4+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).