Решите уравнение tg(πx/4) = -1. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \text{tg}(\frac{\pi x}{4}) = -1 \), найдём общий вид корней.

1. Общий вид решения для уравнения \( \text{tg}(z) = c \) имеет вид \( z = \text{arctg}(c) + \pi n \), где \( n \) — целое число.
2. В нашем случае \( z = \frac{\pi x}{4} \) и \( c = -1 \). Значение арктангенса от -1 равно \( -\frac{\pi}{4} \).
3. Следовательно, \( \frac{\pi x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).
4. Разделим обе части уравнения на \( \pi \): \( \frac{x}{4} = -\frac{1}{4} + n \).
5. Умножим обе части на 4: \( x = -1 + 4n \).

Теперь найдём наибольший отрицательный корень. Для этого будем подставлять целые значения \( n \) и смотреть на значение \( x \):

• Если \( n = 0 \), то \( x = -1 + 4 \cdot 0 = -1 \). Это отрицательный корень.
• Если \( n = -1 \), то \( x = -1 + 4 \cdot (-1) = -1 - 4 = -5 \). Это отрицательный корень.
• Если \( n = -2 \), то \( x = -1 + 4 \cdot (-2) = -1 - 8 = -9 \). Это отрицательный корень.
• Если \( n = 1 \), то \( x = -1 + 4 \cdot 1 = 3 \). Это положительный корень.

Среди отрицательных корней \( -1, -5, -9 \) наибольшим является \( -1 \).

Ответ: -1