Решите уравнение $$(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$$. Если корней несколько, в ответ запишите их сумму.

Давай решим это уравнение! Заметим, что сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом, нам нужно решить систему уравнений: \[\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ x^2 + 3x - 10 = 0 \end{cases}\] Решим первое уравнение: \[x^2 - 25 = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5\] Теперь решим второе уравнение: \[x^2 + 3x - 10 = 0\] Можно разложить на множители: $$(x+5)(x-2)=0$$, откуда $$x = -5$$ или $$x = 2$$. Теперь посмотрим, какие корни являются общими для обоих уравнений. Единственный общий корень - это $$x = -5$$. Так как в условии сказано найти сумму корней, если их несколько, нужно проверить, нет ли ошибки в решении. Исходное уравнение $$(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$$ эквивалентно системе \[\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ x^2 + 3x - 10 = 0 \end{cases}\] Решения первого уравнения: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -5$$. Решения второго уравнения: $$x_3 = -5$$, $$x_4 = 2$$. Общий корень: $$x = -5$$. Тогда $$(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = (25 - 25)^2 + (25 - 15 - 10)^2 = 0 + 0 = 0$$. Все верно. Если бы не было общего корня, то уравнение не имело бы решений. В данном случае есть только один корень $$x = -5$$.

Ответ: -5

Ты отлично справился с заданием! Не останавливайся на достигнутом и продолжай учиться новому!