81 Решите уравнение: 1. $$4x^{2}+12x=0$$. 2. $$4x^{2}-25=0$$. 3. $$x^{2}-9x+8=0$$. 4. $$2x^{2}-4x+3=0$$. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 боль ше другого, равно 187. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь - 15 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

1. Решим уравнение: $$4x^{2}+12x=0$$. $$4x(x+3)=0$$ $$4x=0$$ или $$x+3=0$$ $$x=0$$ или $$x=-3$$ Ответ: $$x=0; x=-3$$ 2. Решим уравнение: $$4x^{2}-25=0$$. $$4x^{2}=25$$ $$x^{2}=\frac{25}{4}$$ $$x=\pm \frac{5}{2}$$ $$x=\pm 2,5$$ Ответ: $$x=2.5; x=-2.5$$ 3. Решим уравнение: $$x^{2}-9x+8=0$$. По теореме Виета: $$\begin{cases}x_1+x_2=9\\x_1 \cdot x_2=8\end{cases}$$ $$x_1=1, x_2=8$$ Ответ: $$x=1; x=8$$ 4. Решим уравнение: $$2x^{2}-4x+3=0$$. Найдем дискриминант: $$D = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$$ Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. 5. Пусть одно число $$x$$, тогда другое $$x+6$$. Известно, что произведение этих чисел равно 187. $$x(x+6)=187$$ $$x^{2}+6x-187=0$$ По теореме Виета: $$\begin{cases}x_1+x_2=-6\\x_1 \cdot x_2=-187\end{cases}$$ $$x_1=-17, x_2=11$$ Так как числа натуральные, то $$x=11$$, тогда $$x+6=17$$. Ответ: 11 и 17 6. Пусть стороны прямоугольника $$a$$ и $$b$$. Периметр $$P=2(a+b)=16$$, площадь $$S=a \cdot b=15$$. Выразим $$a$$ через $$b$$ из уравнения периметра: $$2(a+b)=16$$ $$a+b=8$$ $$a=8-b$$ Подставим в уравнение площади: $$(8-b)b=15$$ $$8b-b^{2}=15$$ $$b^{2}-8b+15=0$$ По теореме Виета: $$\begin{cases}b_1+b_2=8\\b_1 \cdot b_2=15\end{cases}$$ $$b_1=3, b_2=5$$ Если $$b=3$$, то $$a=8-3=5$$. Если $$b=5$$, то $$a=8-5=3$$. Ответ: 3 см и 5 см