Решите уравнение (x² - 25)² + (x² + 3x − 10)² = 0. Если корней несколько, в ответ запишите их сумму.

Решение:

Давай разберем это уравнение по порядку. У нас есть сумма двух квадратов, которая равна нулю. Это возможно только в том случае, если оба слагаемых равны нулю одновременно:

• (x² - 25)² = 0
• (x² + 3x - 10)² = 0

Сначала решим первое уравнение:

\[(x^2 - 25)^2 = 0\] \[x^2 - 25 = 0\] \[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\]

Теперь решим второе уравнение:

\[(x^2 + 3x - 10)^2 = 0\] \[x^2 + 3x - 10 = 0\]

Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Теперь нужно найти корни, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Из первого уравнения мы получили x = 5 и x = -5. Из второго уравнения мы получили x = 2 и x = -5. Общий корень для обоих уравнений — это x = -5.

Кроме того, нужно проверить, являются ли x = 5 и x = 2 корнями исходного уравнения. Подставим x = 5 в (x² + 3x - 10)²:

\[(5^2 + 3\cdot 5 - 10)^2 = (25 + 15 - 10)^2 = (30)^2
e 0\]

Значит, x = 5 не является корнем исходного уравнения.

Подставим x = 2 в (x² - 25)²:

\[(2^2 - 25)^2 = (4 - 25)^2 = (-21)^2
e 0\]

Значит, x = 2 не является корнем исходного уравнения.

Таким образом, единственный корень, удовлетворяющий обоим уравнениям, это x = -5.

Но погоди, мы что-то упустили! Давай внимательнее посмотрим на корни первого уравнения: x = 5 и x = -5. И корни второго уравнения: x = 2 и x = -5. Если x = 5, то (x² - 25)² = 0, но (x² + 3x - 10)² = (25 + 15 - 10)² = 30² = 900 ≠ 0. Аналогично, если x = 2, то (x² + 3x - 10)² = 0, но (x² - 25)² = (4 - 25)² = (-21)² = 441 ≠ 0.

Но если x = -5, то (x² - 25)² = (25 - 25)² = 0 и (x² + 3x - 10)² = (25 - 15 - 10)² = 0. Так что x = -5 — единственный общий корень.

Поскольку в ответ нужно записать сумму корней, а у нас только один корень, то сумма равна -5.

Ответ: -5

Отлично, ты справился с этим уравнением! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!