125. Решите уравнение: 1) x² + 2x - 24 = 0; 2) x² - 9x + 20 = 0; 3) 10n² – 9n + 2 = 0; 4) 21y2 – 2y - 3 = 0; 5) x² + 8x-13 = 0; 6) 2x²-4x- 17 = 0; 7) 9x² + 42x + 49 = 0; 8) x² - 10x + 37 = 0. 126. Решите уравнение: 1) (3x + 2)(x - 4) = 5; 2) (x + 1)(x - 2) - (4x-3)(x + 5) = x(x – 9); 3) (3x – 5)² + (4x − 1)(4x + 1) = 29. 127. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 84 см², а одна из сторон на 5 см меньше другой. 128. Решите уравнение: 1) 2x2 − 4√2x + 3 = 0; 2) x²-x(√7-2) - 2√7 = 0.

125. Решите уравнение:

1) x² + 2x - 24 = 0;

Давай решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -6

2) x² - 9x + 20 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Ответ: x₁ = 5, x₂ = 4

3) 10n² – 9n + 2 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(10)(2) = 81 - 80 = 1\]

Теперь найдем корни:

\[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2(10)} = \frac{9 + 1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]

\[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2(10)} = \frac{9 - 1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\]

Ответ: n₁ = 1/2, n₂ = 2/5

4) 21y² – 2y - 3 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(21)(-3) = 4 + 252 = 256\]

Теперь найдем корни:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{256}}{2(21)} = \frac{2 + 16}{42} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{256}}{2(21)} = \frac{2 - 16}{42} = \frac{-14}{42} = -\frac{1}{3}\]

Ответ: y₁ = 3/7, y₂ = -1/3

5) x² + 8x - 13 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (8)^2 - 4(1)(-13) = 64 + 52 = 116\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{116}}{2(1)} = \frac{-8 + 2\sqrt{29}}{2} = -4 + \sqrt{29}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{116}}{2(1)} = \frac{-8 - 2\sqrt{29}}{2} = -4 - \sqrt{29}\]

Ответ: x₁ = -4 + √29, x₂ = -4 - √29

6) 2x² - 4x - 17 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(-17) = 16 + 136 = 152\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{152}}{2(2)} = \frac{4 + 2\sqrt{38}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{38}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{152}}{2(2)} = \frac{4 - 2\sqrt{38}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{38}}{2}\]

Ответ: x₁ = 1 + √38/2, x₂ = 1 - √38/2

7) 9x² + 42x + 49 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (42)^2 - 4(9)(49) = 1764 - 1764 = 0\]

Теперь найдем корень:

\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-42}{2(9)} = \frac{-42}{18} = -\frac{7}{3}\]

Ответ: x = -7/3

8) x² - 10x + 37 = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(1)(37) = 100 - 148 = -48\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет действительных корней

126. Решите уравнение:

1) (3x + 2)(x - 4) = 5;

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:

\[3x^2 - 12x + 2x - 8 = 5\]

\[3x^2 - 10x - 13 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(3)(-13) = 100 + 156 = 256\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{256}}{2(3)} = \frac{10 + 16}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{256}}{2(3)} = \frac{10 - 16}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

Ответ: x₁ = 13/3, x₂ = -1

2) (x + 1)(x - 2) - (4x - 3)(x + 5) = x(x – 9);

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[x^2 - 2x + x - 2 - (4x^2 + 20x - 3x - 15) = x^2 - 9x\]

\[x^2 - x - 2 - 4x^2 - 17x + 15 = x^2 - 9x\]

\[-3x^2 - 18x + 13 = x^2 - 9x\]

\[4x^2 + 9x - 13 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (9)^2 - 4(4)(-13) = 81 + 208 = 289\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{289}}{2(4)} = \frac{-9 + 17}{8} = \frac{8}{8} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{289}}{2(4)} = \frac{-9 - 17}{8} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4}\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -13/4

3) (3x – 5)² + (4x − 1)(4x + 1) = 29.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[9x^2 - 30x + 25 + 16x^2 - 1 = 29\]

\[25x^2 - 30x + 24 = 29\]

\[25x^2 - 30x - 5 = 0\]

Разделим на 5:

\[5x^2 - 6x - 1 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(5)(-1) = 36 + 20 = 56\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{56}}{2(5)} = \frac{6 + 2\sqrt{14}}{10} = \frac{3 + \sqrt{14}}{5}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{56}}{2(5)} = \frac{6 - 2\sqrt{14}}{10} = \frac{3 - \sqrt{14}}{5}\]

Ответ: x₁ = (3 + √14)/5, x₂ = (3 - √14)/5

127. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 84 см², а одна из сторон на 5 см меньше другой.

Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда другая сторона равна (x + 5) см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому:

\[x(x + 5) = 84\]

\[x^2 + 5x - 84 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4(1)(-84) = 25 + 336 = 361\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{361}}{2(1)} = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{361}}{2(1)} = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем x = 7 см. Тогда другая сторона равна x + 5 = 7 + 5 = 12 см.

Периметр прямоугольника равен 2(a + b), где a и b - длины сторон. Таким образом, периметр равен:

\[P = 2(7 + 12) = 2(19) = 38\]

Ответ: Периметр прямоугольника равен 38 см

128. Решите уравнение:

1) 2x² − 4√2x + 3 = 0;

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{2})^2 - 4(2)(3) = 32 - 24 = 8\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{8}}{2(2)} = \frac{4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4\sqrt{2} - \sqrt{8}}{2(2)} = \frac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: x₁ = (3√2)/2, x₂ = √2/2

2) x²-x(√7-2) - 2√7 = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (\sqrt{7} - 2)^2 - 4(1)(-2\sqrt{7}) = 7 - 4\sqrt{7} + 4 + 8\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7}\]

Заметим, что \[( \sqrt{7} + 2 )^2 = 7 + 4 \sqrt{7} + 4 = 11 + 4 \sqrt{7}\], то есть \[\sqrt{D} = \sqrt{7} + 2\].

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{(\sqrt{7} - 2) + (\sqrt{7} + 2)}{2(1)} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{(\sqrt{7} - 2) - (\sqrt{7} + 2)}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2\]

Ответ: x₁ = √7, x₂ = -2