Решите уравнение x² - 4x + 4 = (2x−7)².

Решим уравнение $$x^2 - 4x + 4 = (2x-7)^2$$ поэтапно:

Шаг 1: Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.

$$x^2 - 4x + 4 = (2x)^2 - 2 cdot 2x cdot 7 + 7^2$$ $$x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 28x + 49$$

Шаг 2: Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $$ax^2 + bx + c = 0$$. Вычтем $$x^2$$, прибавим $$4x$$ и вычтем $$4$$ из обеих частей уравнения.

$$0 = 4x^2 - x^2 - 28x + 4x + 49 - 4$$ $$0 = 3x^2 - 24x + 45$$

Шаг 3: Упростим полученное квадратное уравнение. Разделим обе части уравнения на $$3$$.

$$0 = x^2 - 8x + 15$$

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение $$x^2 - 8x + 15 = 0$$. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или теоремой Виета. Воспользуемся теоремой Виета. Найдем два числа, произведение которых равно $$15$$, а сумма равна $$8$$. Это числа $$3$$ и $$5$$.

$$x_1 = 3, x_2 = 5$$

Шаг 5: Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.

Для $$x = 3$$:

$$3^2 - 4 cdot 3 + 4 = (2 cdot 3 - 7)^2$$ $$9 - 12 + 4 = (6 - 7)^2$$ $$1 = (-1)^2$$ $$1 = 1$$

Для $$x = 5$$:

$$5^2 - 4 cdot 5 + 4 = (2 cdot 5 - 7)^2$$ $$25 - 20 + 4 = (10 - 7)^2$$ $$9 = (3)^2$$ $$9 = 9$$

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x = 3, x = 5