Решите уравнение (x² - 2x)(x2 – 2x - 7) = 8. В ответе укажите наибольший из корней.

Решим уравнение $$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 7) = 8$$.

Сделаем замену $$t = x^2 - 2x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t(t - 7) = 8$$

$$t^2 - 7t - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$t$$.

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$t = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$$

$$t = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$$

$$t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2}$$

$$t = \frac{7 \pm 9}{2}$$

Получаем два значения для $$t$$:

$$t_1 = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$t_2 = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Теперь вернемся к замене $$x^2 - 2x = t$$.

1) Если $$t = 8$$, то $$x^2 - 2x = 8$$.

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$$

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$$

$$x = \frac{2 \pm 6}{2}$$

Получаем два значения для $$x$$:

$$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

2) Если $$t = -1$$, то $$x^2 - 2x = -1$$.

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

Это полный квадрат: $$(x - 1)^2 = 0$$.

Следовательно, $$x - 1 = 0$$, и $$x = 1$$.

Итак, корни уравнения: $$4, -2, 1$$. Наибольший из корней: $$4$$.

Ответ: 4