Решите уравнение 4x² +16x+16=(x+6)². Решение:

Ответ: x = 4

1. Раскрываем скобки в правой части уравнения:

   Используем формулу квадрата суммы: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

   Применяем к \((x+6)^2\):

   \[(x+6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36\]

2. Записываем уравнение с раскрытыми скобками:

   \[4x^2 + 16x + 16 = x^2 + 12x + 36\]

3. Переносим все члены в левую часть уравнения:

   \[4x^2 - x^2 + 16x - 12x + 16 - 36 = 0\]

4. Приводим подобные слагаемые:

   \[3x^2 + 4x - 20 = 0\]

5. Решаем квадратное уравнение:

   Находим дискриминант по формуле: \[D = b^2 - 4ac\]

   В нашем случае: \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -20\)

   \[D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256\]

   Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два корня.

6. Находим корни уравнения:

   Используем формулу корней квадратного уравнения:

   \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

   Подставляем значения:

   \[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 16}{6} = \frac{12}{6} = 2\]

   \[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 16}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}\]

7. Проверяем корни:

   Посмотрим, какое из этих значений \( x \) является подходящим решением:

   • \[ x_1 = 2 \]
   • \[ x_2 = -\frac{10}{3} \]

   Проверим первый корень:

   \[ x_1 = 2 \]

   Подставим в уравнение

   \[ 4 \cdot 2^2 + 16 \cdot 2 + 16 = (2+6)^2 \]

   \[ 16 + 32 + 16 = 64 \]

   \[ 64 = 64 \]

   Этот корень подходит.

   Проверим второй корень:

   \[ x_2 = -\frac{10}{3} \]

   Подставим в уравнение

   \[ 4 \cdot (-\frac{10}{3})^2 + 16 \cdot (-\frac{10}{3}) + 16 = (-\frac{10}{3}+6)^2 \]

   \[ 4 \cdot \frac{100}{9} - \frac{160}{3} + 16 = (\frac{8}{3})^2 \]

   \[ \frac{400}{9} - \frac{480}{9} + \frac{144}{9} = \frac{64}{9} \]

   \[ \frac{64}{9} = \frac{64}{9} \]

   Этот корень тоже подходит.

Ответ: x = 2, x = -\frac{10}{3}