Решите уравнение (x²+x−20)(x²-7x+12)≤0.

Решение:

Давай решим это неравенство шаг за шагом. Сначала разложим каждый квадратный трехчлен на множители:

1. Разложим \(x^2 + x - 20\). Нужно найти два числа, которые в сумме дают 1, а в произведении -20. Это числа 5 и -4.

Поэтому \(x^2 + x - 20 = (x + 5)(x - 4)\)

2. Разложим \(x^2 - 7x + 12\). Нужно найти два числа, которые в сумме дают -7, а в произведении 12. Это числа -3 и -4.

Поэтому \(x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\)

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[(x + 5)(x - 4)(x - 3)(x - 4) \le 0\] \[(x + 5)(x - 3)(x - 4)^2 \le 0\]

Заметим, что \((x - 4)^2\) всегда неотрицательно. Следовательно, чтобы произведение было меньше или равно нулю, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. \((x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4\)
2. \((x + 5)(x - 3) \le 0\)

Решим неравенство \((x + 5)(x - 3) \le 0\). Найдем нули функции: \(x = -5\) и \(x = 3\). Теперь определим знаки на интервалах:

• Если \(x < -5\), то \((x + 5) < 0\) и \((x - 3) < 0\), значит, произведение положительное.
• Если \(-5 < x < 3\), то \((x + 5) > 0\) и \((x - 3) < 0\), значит, произведение отрицательное.
• Если \(x > 3\), то \((x + 5) > 0\) и \((x - 3) > 0\), значит, произведение положительное.

Таким образом, решение неравенства \((x + 5)(x - 3) \le 0\) это интервал \([-5; 3]\).

Не забываем про корень \(x = 4\), который мы нашли ранее. Так как \((x - 4)^2 \ge 0\) всегда, то \(x = 4\) является решением, если \((x + 5)(x - 3) \le 0\) при \(x = 4\). Но при \(x = 4\) произведение \((x + 5)(x - 3) = (4 + 5)(4 - 3) = 9 > 0\), следовательно, \(x = 4\) не является решением исходного неравенства, но должен быть рассмотрен отдельно, т.к. \((x-4)^2=0\) при \(x=4\)

Объединяем решения: \([-5; 3] \cup \{4\}\). Поскольку при \(x=4\) все выражение равно нулю, то \(x=4\) включается в ответ.

Ответ: \([-5; 3] \cup \{4\}\)

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и математика станет твоим верным другом!