Решите уравнение x⁶ = (6x – 8)³.

Данное уравнение можно переписать как: $$x^6 = (6x - 8)^3$$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $$\sqrt[3]{x^6} = \sqrt[3]{(6x - 8)^3}$$

$$x^2 = 6x - 8$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:

При x = 4: $$4^6 = (6 \cdot 4 - 8)^3$$ $$4096 = (24 - 8)^3$$ $$4096 = 16^3$$ $$4096 = 4096$$

При x = 2: $$2^6 = (6 \cdot 2 - 8)^3$$ $$64 = (12 - 8)^3$$ $$64 = 4^3$$ $$64 = 64$$

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x = 4, x = 2