Решите уравнение x⁸=(20-x)⁴.

Ответ:

Дано уравнение: \(x^8 = (20 - x)^4\). Представим \(x^8\) как \((x^2)^4\). Тогда уравнение примет вид: \[(x^2)^4 = (20 - x)^4\] Теперь можно извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения, учитывая, что корень четной степени может быть как положительным, так и отрицательным: \[x^2 = \pm (20 - x)\] Рассмотрим два случая: 1) \(x^2 = 20 - x\) \[x^2 + x - 20 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] 2) \(x^2 = -(20 - x)\) \[x^2 = -20 + x\] \[x^2 - x + 20 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 - 80 = -79\] Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Итак, решения уравнения: \(x = 4\) и \(x = -5\).

Ответ: -5; 4

Проверка за 10 секунд: Подставь найденные значения в исходное уравнение и убедись, что они удовлетворяют условию.

Уровень Эксперт: Не забывай учитывать оба знака при извлечении корня четной степени для нахождения всех возможных решений.