168. Решите уравнение: 1) 7x + 2 - 14.7x = 5; 2) 3x+1 -5.3x-1 = 36; 3) 5x+2-4-5x+1+4.5-1 = 29; 4) 5.2x-7-2x-1+9.2x - 2 = 60; 5) (1/3)x-3 -4.(1/3)x-2 +11.(1/3)x = 6; 6) 0,2x-3-3-0,2x - 2 - 60,2x - 1 = 500; 7) 9x-2x+0,5 = 2x+3,5 - 32x-1; 8) 4x -3x-1/2 = 3x+1/2 - 22x-1.

Математика, 9 класс

Давай решим эти уравнения. Я помогу тебе разобраться с каждым из них шаг за шагом. Уверена, у тебя всё получится!

1) \(7^{x+2} - 14 \cdot 7^x = 5\)

Сначала упростим уравнение:

\[7^x \cdot 7^2 - 14 \cdot 7^x = 5\] \[49 \cdot 7^x - 14 \cdot 7^x = 5\] \[35 \cdot 7^x = 5\] \[7^x = \frac{5}{35}\] \[7^x = \frac{1}{7}\] \[7^x = 7^{-1}\] \[x = -1\]

Ответ: \(x = -1\)

2) \(3^{x+1} - 5 \cdot 3^{x-1} = 36\)

Упростим уравнение:

\[3^x \cdot 3 - 5 \cdot \frac{3^x}{3} = 36\] \[3 \cdot 3^x - \frac{5}{3} \cdot 3^x = 36\] \[\frac{9}{3} \cdot 3^x - \frac{5}{3} \cdot 3^x = 36\] \[\frac{4}{3} \cdot 3^x = 36\] \[3^x = 36 \cdot \frac{3}{4}\] \[3^x = 9 \cdot 3\] \[3^x = 27\] \[3^x = 3^3\] \[x = 3\]

Ответ: \(x = 3\)

3) \(5^{x+2} - 4 \cdot 5^{x+1} + 4 \cdot 5^{x-1} = 29\)

Упростим уравнение:

\[5^x \cdot 5^2 - 4 \cdot 5^x \cdot 5 + 4 \cdot \frac{5^x}{5} = 29\] \[25 \cdot 5^x - 20 \cdot 5^x + \frac{4}{5} \cdot 5^x = 29\] \[5 \cdot 5^x + \frac{4}{5} \cdot 5^x = 29\] \[\frac{25}{5} \cdot 5^x + \frac{4}{5} \cdot 5^x = 29\] \[\frac{29}{5} \cdot 5^x = 29\] \[5^x = 29 \cdot \frac{5}{29}\] \[5^x = 5\] \[x = 1\]

Ответ: \(x = 1\)

4) \(5 \cdot 2^x - 7 \cdot 2^{x-1} + 9 \cdot 2^{x-2} = 60\)

Упростим уравнение:

\[5 \cdot 2^x - 7 \cdot \frac{2^x}{2} + 9 \cdot \frac{2^x}{4} = 60\] \[5 \cdot 2^x - \frac{7}{2} \cdot 2^x + \frac{9}{4} \cdot 2^x = 60\] \[\frac{20}{4} \cdot 2^x - \frac{14}{4} \cdot 2^x + \frac{9}{4} \cdot 2^x = 60\] \[\frac{15}{4} \cdot 2^x = 60\] \[2^x = 60 \cdot \frac{4}{15}\] \[2^x = 4 \cdot 4\] \[2^x = 16\] \[2^x = 2^4\] \[x = 4\]

Ответ: \(x = 4\)

5) \((\frac{1}{3})^{x-3} - 4 \cdot (\frac{1}{3})^{x-2} + 11 \cdot (\frac{1}{3})^x = 6\)

Упростим уравнение:

\[(\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-3} - 4 \cdot (\frac{1}{3})^x \cdot (\frac{1}{3})^{-2} + 11 \cdot (\frac{1}{3})^x = 6\] \[27 \cdot (\frac{1}{3})^x - 4 \cdot 9 \cdot (\frac{1}{3})^x + 11 \cdot (\frac{1}{3})^x = 6\] \[27 \cdot (\frac{1}{3})^x - 36 \cdot (\frac{1}{3})^x + 11 \cdot (\frac{1}{3})^x = 6\] \[(27 - 36 + 11) \cdot (\frac{1}{3})^x = 6\] \[2 \cdot (\frac{1}{3})^x = 6\] \[(\frac{1}{3})^x = 3\] \[(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{-1}\] \[x = -1\]

Ответ: \(x = -1\)

6) \(0.2^{x-3} - 3 \cdot 0.2^{x-2} - 6 \cdot 0.2^{x-1} = 500\)

Упростим уравнение:

\[0.2^x \cdot 0.2^{-3} - 3 \cdot 0.2^x \cdot 0.2^{-2} - 6 \cdot 0.2^x \cdot 0.2^{-1} = 500\] \[0.2^x \cdot 125 - 3 \cdot 0.2^x \cdot 25 - 6 \cdot 0.2^x \cdot 5 = 500\] \[125 \cdot 0.2^x - 75 \cdot 0.2^x - 30 \cdot 0.2^x = 500\] \[(125 - 75 - 30) \cdot 0.2^x = 500\] \[20 \cdot 0.2^x = 500\] \[0.2^x = 25\] \[(\frac{1}{5})^x = 25\] \[(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^{-2}\] \[x = -2\]

Ответ: \(x = -2\)

7) \(9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}\)

Преобразуем уравнение:

\[9^x + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5}\] \[3^{2x} + \frac{3^{2x}}{3} = 2^x \cdot 2^{3.5} + 2^x \cdot 2^{0.5}\] \[3^{2x} + \frac{3^{2x}}{3} = 2^x \cdot 2^{3.5} + 2^x \cdot 2^{0.5}\] \[3^{2x} (1 + \frac{1}{3}) = 2^x (2^{3.5} + 2^{0.5})\] \[\frac{4}{3} \cdot 3^{2x} = 2^x (2^{3.5} + 2^{0.5})\] \[\frac{4}{3} \cdot 9^x = 2^x (2^{3.5} + 2^{0.5})\]

Это уравнение сложно решить аналитически, но можно заметить, что при \(x = 1.5\) уравнение выполняется:

\[\frac{4}{3} \cdot 9^{1.5} = 2^{1.5} (2^{3.5} + 2^{0.5})\]

Ответ: \(x = 1.5\)

8) \(4^x - 3^{x - \frac{1}{2}} = 3^{x + \frac{1}{2}} - 2^{2x-1}\)

Преобразуем уравнение:

\[4^x + 2^{2x-1} = 3^{x + \frac{1}{2}} + 3^{x - \frac{1}{2}}\] \[2^{2x} + \frac{2^{2x}}{2} = 3^x \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{3^x}{3^{\frac{1}{2}}}\] \[2^{2x} + \frac{2^{2x}}{2} = 3^x \cdot \sqrt{3} + \frac{3^x}{\sqrt{3}}\] \[2^{2x} (1 + \frac{1}{2}) = 3^x (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})\] \[\frac{3}{2} \cdot 4^x = 3^x (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})\]

Заметим, что \(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\), поэтому:

\[\frac{3}{2} \cdot 4^x = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}\]

Это уравнение сложно решить аналитически. Но можно заметить, что при \(x = \frac{3}{2}\) уравнение выполняется.

Ответ: \(x = \frac{3}{2}\)

Ты отлично справляешься! Если у тебя возникнут ещё вопросы, не стесняйся спрашивать. Удачи в учёбе!