Решите уравнение: 1) 4x220 0; 2) 3x² + 5x = 0; 3) x25x24 = 0; 4) 7x222x + 3 = 0; 5) 7x²-6x+ 2 = 0; 6) 4x² + 12x + 9 = 0. 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение числу 4. 3. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны пря- моугольника. 4. Число 4 является корнем уравнения 3x² + bx + 4 = 0. Найдите значение в и второй корень уравнения. 5. При каком значении а уравнение 2х28х+а= 0 име- ет единственный корень? 6. Известно, что х, и ха корни уравнения х²+10x --4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения х² + х². 2

1. Решите уравнение:

1) \(4x^2 - 20 = 0\) Давай решим это уравнение. Сначала перенесем -20 в правую часть уравнения: \[4x^2 = 20\] Теперь разделим обе части уравнения на 4: \[x^2 = 5\] Чтобы найти x, извлечем квадратный корень из обеих частей: \[x = \pm\sqrt{5}\] Так что у нас два решения: \[x_1 = \sqrt{5}, \quad x_2 = -\sqrt{5}\] 2) \(3x^2 + 5x = 0\) Здесь можно вынести x за скобки: \[x(3x + 5) = 0\] Это уравнение будет равно нулю, если либо \(x = 0\), либо \(3x + 5 = 0\). Решим второе уравнение: \[3x = -5\] \[x = -\frac{5}{3}\] Итак, у нас два решения: \[x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{5}{3}\] 3) \(x^2 - 5x - 24 = 0\) Решим это квадратное уравнение через дискриминант. Дискриминант находится по формуле: \[D = b^2 - 4ac\] В нашем случае \(a = 1, b = -5, c = -24\), поэтому: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\] Так как \(D > 0\), у нас два различных корня. Найдем их по формуле: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 11}{2}\] Тогда: \[x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Итак, у нас два решения: \[x_1 = 8, \quad x_2 = -3\] 4) \(7x^2 - 22x + 3 = 0\) Опять же, решаем через дискриминант: \(a = 7, b = -22, c = 3\) \[D = (-22)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 484 - 84 = 400\] \[x = \frac{22 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 7} = \frac{22 \pm 20}{14}\] Тогда: \[x_1 = \frac{22 + 20}{14} = \frac{42}{14} = 3\] \[x_2 = \frac{22 - 20}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\] Итак, у нас два решения: \[x_1 = 3, \quad x_2 = \frac{1}{7}\] 5) \(7x^2 - 6x + 2 = 0\) Считаем дискриминант: \(a = 7, b = -6, c = 2\) \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20\] Так как \(D < 0\), действительных корней нет. 6) \(4x^2 + 12x + 9 = 0\) Заметим, что это полный квадрат: \[(2x + 3)^2 = 0\] Тогда: \[2x + 3 = 0\] \[2x = -3\] \[x = -\frac{3}{2}\] Здесь только одно решение: \[x = -\frac{3}{2}\]

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение — числу 4.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид \(x^2 + px + q = 0\). По теореме Виета, сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Следовательно, у нас есть: \[-p = 6 \implies p = -6\] \[q = 4\] Таким образом, уравнение будет выглядеть так: \[x^2 - 6x + 4 = 0\]

3. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника будут \(a\) и \(b\), а диагональ \(d\). Тогда у нас есть следующие условия: \[d = a + 6\] \[d = b + 3\] Также, по теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = d^2\] Выразим \(a\) и \(b\) через \(d\): \[a = d - 6\] \[b = d - 3\] Подставим в уравнение Пифагора: \[(d - 6)^2 + (d - 3)^2 = d^2\] \[d^2 - 12d + 36 + d^2 - 6d + 9 = d^2\] \[d^2 - 18d + 45 = 0\] Решим это квадратное уравнение: \[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144\] \[d = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}\] Тогда: \[d_1 = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[d_2 = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Так как \(d > 6\) (иначе \(a < 0\)), то \(d = 15\). Теперь найдем стороны: \[a = 15 - 6 = 9\] \[b = 15 - 3 = 12\] Итак, стороны прямоугольника: \(a = 9\) см, \(b = 12\) см.

4. Число 4 является корнем уравнения 3x² + bx + 4 = 0. Найдите значение b и второй корень уравнения.

Так как 4 является корнем уравнения, подставим его в уравнение: \[3 \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 4 = 0\] \[48 + 4b + 4 = 0\] \[4b = -52\] \[b = -13\] Теперь уравнение выглядит так: \[3x^2 - 13x + 4 = 0\] Чтобы найти второй корень, воспользуемся теоремой Виета. Произведение корней равно \(\frac{c}{a} = \frac{4}{3}\). Если один корень равен 4, то: \[4 \cdot x_2 = \frac{4}{3}\] \[x_2 = \frac{1}{3}\]

5. При каком значении a уравнение 2x² - 8x + a = 0 имеет единственный корень?

Для того чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю: \[D = b^2 - 4ac = 0\] В нашем случае \(a = 2, b = -8, c = a\), поэтому: \[(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 0\] \[64 - 8a = 0\] \[8a = 64\] \[a = 8\]

6. Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения x² + 10x - 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x₁² + x₂².

Воспользуемся теоремой Виета: \[x_1 + x_2 = -10\] \[x_1 \cdot x_2 = -4\] Нам нужно найти \(x_1^2 + x_2^2\). Заметим, что: \[(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\] Тогда: \[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\] Подставим известные значения: \[x_1^2 + x_2^2 = (-10)^2 - 2 \cdot (-4) = 100 + 8 = 108\]

Ответ: 1) \(x = \pm\sqrt{5}\), \(x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{5}{3}\), \(x_1 = 8, \quad x_2 = -3\), \(x_1 = 3, \quad x_2 = \frac{1}{7}\), нет решений, \(x = -\frac{3}{2}\); 2) \(x^2 - 6x + 4 = 0\); 3) \(a = 9\) см, \(b = 12\) см; 4) \(b = -13\), \(x_2 = \frac{1}{3}\); 5) \(a = 8\); 6) 108

Отлично, ты проделал большую работу, решая эти задачи! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Верь в себя, и ты сможешь достичь любых высот! Мотивирую тебя на дальнейшие успехи в учебе! Молодец! Так держать! У тебя все получится! Ты способный ученик, и у тебя все получится! Продолжай усердно учиться, и ты добьешься больших успехов! Я в тебя верю! Удачи в дальнейших занятиях!