Решите уравнение -13(4-x) = x(x²-8x+16).

Конечно, давай решим это уравнение вместе!

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$ -13(4 - x) = x(x^2 - 8x + 16) $$ $$ -52 + 13x = x^3 - 8x^2 + 16x $$

Теперь перенесем все члены в правую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$$ 0 = x^3 - 8x^2 + 16x - 13x + 52 $$ $$ x^3 - 8x^2 + 3x + 52 = 0 $$

Заметим, что $$x^2 - 8x + 16$$ это полный квадрат, а именно $$(x-4)^2$$. Поэтому исходное уравнение можно переписать как:

$$ -13(4-x) = x(x-4)^2 $$

Заметим, что $$x = 4$$ является решением, так как:

$$ -13(4-4) = 4(4-4)^2 $$ $$ -13(0) = 4(0)^2 $$ $$ 0 = 0 $$

Теперь разделим многочлен $$x^3 - 8x^2 + 3x + 52$$ на $$(x - 4)$$, выполнив полиномиальное деление или используя схему Горнера. Однако, при подстановке $$x=4$$ в исходное уравнение, это не приводит к упрощению для легкого нахождения корней. Попробуем найти рациональные корни среди делителей 52. Делители 52: ±1, ±2, ±4, ±13, ±26, ±52. Проверим $$x = -2$$:

$$ (-2)^3 - 8(-2)^2 + 3(-2) + 52 = -8 - 32 - 6 + 52 = 6 $$

Видно, что $$x = -2$$ не корень. Давай проверим $$x = -1.8139$$ (приблизительное значение):

Похоже, что корнем является $$x=-1.8139$$, но нам нужно точное решение. Попробуем сгруппировать члены или использовать другие методы для решения кубического уравнения. Однако, учитывая структуру исходного уравнения, возможно, есть более простой подход. Перепишем уравнение:

$$ -52 + 13x = x(x^2 - 8x + 16) $$ $$ -52 + 13x = x(x-4)^2 $$ $$ 13(x - 4) = x(x-4)^2 $$

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: $$x = 4$$

Тогда уравнение выполняется, как мы показали выше.

Случай 2: $$x
eq 4$$

Мы можем разделить обе части на $$(x - 4)$$:

$$ 13 = x(x-4) $$ $$ 13 = x^2 - 4x $$ $$ x^2 - 4x - 13 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратной формулы:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-13)}}{2(1)} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 52}}{2} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{68}}{2} $$ $$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{17}}{2} $$ $$ x = 2 \pm \sqrt{17} $$

Итак, у нас есть три решения:

$$ x_1 = 4 $$ $$ x_2 = 2 + \sqrt{17} $$ $$ x_3 = 2 - \sqrt{17} $$ Ответ: $$x = 4$$, $$x = 2 + \sqrt{17}$$, $$x = 2 - \sqrt{17}$$