20. Решите уравнение 2/(3x+1) - x/(1-3x) = 2x/(9x²-1)

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\). Домножим числитель и знаменатель первой дроби на \((3x - 1)\), а числитель и знаменатель второй дроби на \((-1)(3x + 1)\):
   \[\frac{2(3x-1)}{(3x+1)(3x-1)} - \frac{x(-1)(3x+1)}{(1-3x)(-1)(3x+1)} = \frac{2x}{9x^2-1}\] \[\frac{6x-2}{(3x+1)(3x-1)} - \frac{-x(3x+1)}{(3x+1)(3x-1)} = \frac{2x}{9x^2-1}\]
2. Шаг 2: Упростим уравнение:
   \[\frac{6x-2}{(3x+1)(3x-1)} + \frac{3x^2+x}{(3x+1)(3x-1)} = \frac{2x}{9x^2-1}\] \[\frac{3x^2+7x-2}{9x^2-1} = \frac{2x}{9x^2-1}\]
3. Шаг 3: Так как знаменатели равны, приравняем числители:
   \[3x^2+7x-2 = 2x\] \[3x^2+5x-2 = 0\]
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49\]
5. Шаг 5: Найдем корни уравнения:
   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2\]
6. Шаг 6: Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
   \[3x+1
   eq 0 \Rightarrow x
   eq -\frac{1}{3}\] \[1-3x
   eq 0 \Rightarrow x
   eq \frac{1}{3}\] \[9x^2-1
   eq 0 \Rightarrow x
   eq \pm \frac{1}{3}\]
7. Шаг 7: Исключаем \(x = \frac{1}{3}\) из решения, так как это значение обращает знаменатель в ноль.

Ответ: \(x = -2\)