Решите уравнение: x + 1 = 2 - \(\sqrt{x-1}\)

Решение:

1. Перенесём все члены с корнем в одну часть, а остальные — в другую:
   \( \sqrt{x-1} = 2 - x - 1 \)
   \( \sqrt{x-1} = 1 - x \)
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \[ (\sqrt{x-1})^2 = (1 - x)^2 \]
   \[ x - 1 = 1 - 2x + x^2 \]
3. Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:
   \[ x^2 - 2x - x + 1 + 1 = 0 \]
   \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]
5. Найдем корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]
6. Проверим полученные корни в исходном уравнении:
   Для \( x = 2 \):
   Левая часть: \( \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1 \)
   Правая часть: \( 1 - 2 = -1 \)
   \( 1 \neq -1 \), значит, \( x=2 \) — посторонний корень.
   Для \( x = 1 \):
   Левая часть: \( \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0 \)
   Правая часть: \( 1 - 1 = 0 \)
   \( 0 = 0 \), значит, \( x=1 \) — верный корень.

Ответ: x = 1.