Решите уравнение (x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения \( (x+1)^2 \).

1. Сделаем замену переменной: пусть \( y = (x+1)^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + y - 6 = 0 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \).
3. \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
4. \( \sqrt{D} = 5 \).
5. Найдем корни для \( y \): \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
6. \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
7. Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) обратно в замену:
8. Случай 1: \( (x+1)^2 = y_1 = 2 \).
9. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \( x+1 = \pm\sqrt{2} \).
10. Выразим \( x \): \( x = -1 \pm\sqrt{2} \).
11. Получаем два корня: \( x_1 = -1 + \sqrt{2} \) и \( x_2 = -1 - \sqrt{2} \).
12. Случай 2: \( (x+1)^2 = y_2 = -3 \).
13. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: \( x_1 = -1 + \sqrt{2} \), \( x_2 = -1 - \sqrt{2} \).