Решите уравнение: (x^2 - 2)^2 - 3(x^2 - 2) - 28 = 0. В ответ запишите наибольший корень.

Решение:

Это биквадратное уравнение. Введём замену переменной: пусть \( y = x^2 - 2 \).

Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 28 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-28) = 9 + 112 = 121 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 - 2 \) и решим два уравнения:

1. \( x^2 - 2 = 7 \)
• \( x^2 = 7 + 2 \)
• \( x^2 = 9 \)
• \( x = \pm \sqrt{9} \)
• \( x = \pm 3 \)
2. \( x^2 - 2 = -4 \)
• \( x^2 = -4 + 2 \)
• \( x^2 = -2 \)
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются \( x = 3 \) и \( x = -3 \).

Наибольшим корнем является \( 3 \).

Ответ: 3