Решите уравнение \( x^2 - 2x + \sqrt{3-x} = \sqrt{3-x} + 8 \).

Решение:

Дано уравнение: \( x^2 - 2x + \sqrt{3-x} = \sqrt{3-x} + 8 \).

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ):

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 3-x \ge 0 \). Следовательно, \( x \le 3 \).

2. Упрощаем уравнение:

Вычитаем \( \sqrt{3-x} \) из обеих частей уравнения:

\( x^2 - 2x = 8 \)

3. Решаем полученное квадратное уравнение:

Переносим всё в одну сторону:

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

4. Проверяем корни по ОДЗ:

Для \( x_1 = 4 \): \( 4 \le 3 \) — неверно. Этот корень не подходит.

Для \( x_2 = -2 \): \( -2 \le 3 \) — верно. Этот корень подходит.

Ответ: -2