Решите уравнение (x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения \( (x+2)^2 \).

1. Пусть \( y = (x+2)^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 4y - 5 = 0 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
• \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \).
• \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
• \( \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \).
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
3. Теперь вернёмся к замене \( y = (x+2)^2 \).
• Случай 1: \( (x+2)^2 = 5 \).
• Извлекая квадратный корень из обеих частей, получим: \( x+2 = \pm \sqrt{5} \).
• \( x = -2 \pm \sqrt{5} \).
• Случай 2: \( (x+2)^2 = -1 \).
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: \( x = -2 \pm \sqrt{5} \).