Решите уравнение (x+2)^4 + (x+2)^2 - 12 = 0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( (x+2)^2 \). Введём замену переменной: пусть \( y = (x+2)^2 \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) обратно в замену \( y = (x+2)^2 \).

Случай 1: \( y_1 = 3 \)

\[ (x+2)^2 = 3 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x+2 = \pm\sqrt{3} \]

Найдём \( x \):

\[ x = -2 \pm\sqrt{3} \]

Таким образом, получаем два корня: \( x_1 = -2 + \sqrt{3} \) и \( x_2 = -2 - \sqrt{3} \).

Случай 2: \( y_2 = -4 \)

\[ (x+2)^2 = -4 \]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = -2 \pm\sqrt{3} \).