Решите уравнение: x (2 – x) (x + 2) = 12 – (x + 2) (4 – 2x + x²

Решение:

Дано уравнение: \( x(2 - x)(x + 2) = 12 - (x + 2)(4 - 2x + x^2) \)

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
   \( x(2 - x)(x + 2) = x(2^2 - x^2) = x(4 - x^2) = 4x - x^3 \)
2. Раскроем скобки в правой части уравнения. Заметим, что \( (x + 2)(4 - 2x + x^2) \) — это формула суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). Здесь \( a = x \) и \( b = 2 \).
   \( (x + 2)(4 - 2x + x^2) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 \)
3. Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:
   \( 4x - x^3 = 12 - (x^3 + 8) \)
4. Раскроем скобки в правой части:
   \( 4x - x^3 = 12 - x^3 - 8 \)
5. Перенесём все члены уравнения в левую часть:
   \( 4x - x^3 - 12 + x^3 + 8 = 0 \)
6. Упростим уравнение, приведя подобные слагаемые:
   \( (4x) + (-x^3 + x^3) + (-12 + 8) = 0 \)
   \( 4x - 4 = 0 \)
7. Решим полученное линейное уравнение:
   \( 4x = 4 \)
   \( x = \frac{4}{4} \)
   \( x = 1 \)

Ответ: x = 1.