Решите уравнение: (x² - 25)² + (x² + 3x – 10)² = 0.

Решение:

Уравнение представляет собой сумму квадратов двух выражений, равную нулю. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю.

1. Приравняем первое выражение к нулю: \( x^2 - 25 = 0 \).


2. Решим это уравнение: \( x^2 = 25 \) \( \implies x = \pm 5 \).


3. Приравняем второе выражение к нулю: \( x^2 + 3x - 10 = 0 \).


4. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).


5. Найдем корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).


6. Общими решениями для обоих уравнений являются те значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям. В данном случае, общим решением является \( x = -5 \).

Ответ: x = -5.