Решите уравнение (x² – 2x + 3)(x² – 2x + 1) = 24. Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.

Давай разберемся с этим уравнением шаг за шагом!

1. Замена переменной

• Заметим, что часть (x² – 2x) повторяется в обоих множителях.
• Введем новую переменную, пусть y = x² – 2x.
• Тогда уравнение примет вид: (y + 3)(y + 1) = 24.

2. Решение квадратного уравнения относительно 'y'

• Раскроем скобки: y² + y + 3y + 3 = 24
• Приведем подобные члены: y² + 4y + 3 = 24
• Перенесем все в левую часть: y² + 4y + 3 - 24 = 0
• Получим квадратное уравнение: y² + 4y - 21 = 0
• Найдем корни этого уравнения через дискриминант или теорему Виета.
• Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 · 1 · (-21) = 16 + 84 = 100.
• y₁ = -7
• y₂ = 3

3. Обратная замена

• Теперь подставим найденные значения y обратно в выражение y = x² – 2x.
• Случай 1: y₁ = -7
• x² - 2x = -7
• x² - 2x + 7 = 0
• Дискриминант D = (-2)² - 4 · 1 · 7 = 4 - 28 = -24. Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.
• Случай 2: y₂ = 3
• x² - 2x = 3
• x² - 2x - 3 = 0
• Дискриминант D = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16.
• x₁ = -1
• x₂ = 3

4. Выбор большего корня

• У нас получилось два корня: -1 и 3.
• По условию задачи, если корней несколько, нужно указать больший из них.
• Больший корень — это 3.

Ответ: 3