Решите уравнение x²-2x+√3-x = √3-x+8.

Решение:

Дано уравнение: \( x^2 - 2x + \sqrt{3-x} = \sqrt{3-x} + 8 \).

1. Вычтем \( \sqrt{3-x} \) из обеих частей уравнения: \( x^2 - 2x = 8 \).
2. Перенесём всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 2x - 8 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \].
4. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
5. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
6. Проверим оба корня на допустимость, подставив в исходное уравнение. Ограничение: \( 3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 \).
7. Для \( x = 4 \): \( 3-4 = -1 < 0 \). Этот корень не подходит.
8. Для \( x = -2 \): \( 3-(-2) = 5 \geq 0 \). Этот корень подходит.

Ответ: x = -2.