Решите уравнение (x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16

Решение:

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

Здесь \( a = (x+3) \) и \( b = (2x-1) \).

1. Найдем разность выражений: \( (x+3) - (2x-1) = x+3-2x+1 = -x+4 \).
2. Найдем сумму выражений: \( (x+3) + (2x-1) = x+3+2x-1 = 3x+2 \).
3. Умножим полученные выражения: \( (-x+4)(3x+2) = 16 \).
4. Раскроем скобки: \( -3x^2 - 2x + 12x + 8 = 16 \).
5. Приведем подобные слагаемые: \( -3x^2 + 10x + 8 = 16 \).
6. Перенесем все члены в одну сторону: \( -3x^2 + 10x + 8 - 16 = 0 \).
7. Упростим уравнение: \( -3x^2 + 10x - 8 = 0 \).
8. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( 3x^2 - 10x + 8 = 0 \).
9. Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=3 \), \( b=-10 \), \( c=8 \):
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \]
10. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
11. Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\[ x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 4/3.