Решите уравнение: (X+3)² - (2x-1)² = 16

Решение:

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы:

1. \( (X+3)^2 = X^2 + 2 \cdot X \cdot 3 + 3^2 = X^2 + 6X + 9 \)
2. \( (2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 \)
3. Подставим полученные выражения в уравнение:

\[ (X^2 + 6X + 9) - (4x^2 - 4x + 1) = 16 \]

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

\[ X^2 + 6X + 9 - 4x^2 + 4x - 1 = 16 \]

5. Приведём подобные слагаемые:

\[ (X^2 - 4x^2) + (6X + 4x) + (9 - 1) = 16 \]

\[ -3X^2 + 10X + 8 = 16 \]

6. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ -3X^2 + 10X + 8 - 16 = 0 \]

\[ -3X^2 + 10X - 8 = 0 \]

Чтобы упростить, умножим всё на -1:

\[ 3X^2 - 10X + 8 = 0 \]

7. Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \]

8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдём корни по формуле \( X = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ X_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]

\[ X_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( X_1 = 2, X_2 = \frac{4}{3} \).