Решите уравнение: (x + 3)² - (2x - 1)² = 16

Решение:

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\[ ((x + 3) - (2x - 1))((x + 3) + (2x - 1)) = 16 \]

Упростим выражения в скобках:

\[ (x + 3 - 2x + 1)(x + 3 + 2x - 1) = 16 \]

\[ (-x + 4)(3x + 2) = 16 \]

Раскроем скобки:

\[ -3x^2 - 2x + 12x + 8 = 16 \]

\[ -3x^2 + 10x + 8 = 16 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ -3x^2 + 10x + 8 - 16 = 0 \]

\[ -3x^2 + 10x - 8 = 0 \]

Умножим уравнение на -1 для удобства:

\[ 3x^2 - 10x + 8 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдём корни по формуле:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 4/3.