Решите уравнение (x-3)^4 - 3(x-3)^2 - 10 = 0.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть $$y = (x-3)^2$$. Тогда исходное уравнение примет вид: $$y^2 - 3y - 10 = 0$$.
2. Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение относительно $$y$$. Найдем дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49$$. Корни уравнения: $$y_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$$ и $$y_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$$.
3. Шаг 3: Вернемся к исходной переменной $$x$$. У нас есть два случая: \( (x-3)^2 = 5 \) и \( (x-3)^2 = -2 \).
4. Шаг 4: Решим первое уравнение: \( (x-3)^2 = 5 \). Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x-3 = \pm \sqrt{5}$$. Тогда $$x = 3 \pm \sqrt{5}$$.
5. Шаг 5: Решим второе уравнение: \( (x-3)^2 = -2 \). Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x = 3 \pm \sqrt{5}$$