Решите уравнение (x - 3)(x-4)(x - 5) = (x-2)x(x-4)(x-5).

Решение:

Данное уравнение:

\[ (x - 3)(x-4)(x - 5) = (x-2)x(x-4)(x-5) \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ (x - 3)(x-4)(x - 5) - (x-2)x(x-4)(x-5) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x-4)(x-5) \) за скобки:

\[ (x-4)(x-5) [(x-3) - (x-2)x] = 0 \]

Раскроем скобки во втором множителе:

\[ (x-4)(x-5) [x - 3 - x^2 + 2x] = 0 \]

Приведём подобные слагаемые внутри второй скобки:

\[ (x-4)(x-5) [-x^2 + 3x - 3] = 0 \]

Умножим вторую скобку на -1, изменив знак перед ней:

\[ -(x-4)(x-5) [x^2 - 3x + 3] = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим каждый множитель:

1. \( x - 4 = 0 \) \(\\implies\\) \( x = 4 \)
2. \( x - 5 = 0 \) \(\\implies\\) \( x = 5 \)
3. \( x^2 - 3x + 3 = 0 \)

Для квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 3 = 0 \) найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \]

Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение \( x^2 - 3x + 3 = 0 \) не имеет действительных корней.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются \( x = 4 \) и \( x = 5 \).

Ответ: x = 4, x = 5.