Решите уравнение (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 3) + 1 = 0.

Решение:

Пусть \( y = x^2 + 3x \). Тогда уравнение примет вид:

\( (y + 1)(y + 3) + 1 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( y^2 + 3y + y + 3 + 1 = 0 \)

\( y^2 + 4y + 4 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Можно заметить, что это полный квадрат:

\( (y + 2)^2 = 0 \)

Отсюда следует, что \( y + 2 = 0 \), то есть \( y = -2 \).

Теперь подставим обратно \( x^2 + 3x \) вместо \( y \):

\( x^2 + 3x = -2 \)

Перенесём всё в одну часть уравнения:

\( x^2 + 3x + 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( x \). Решим его, найдя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Ответ: x₁ = -1, x₂ = -2.