Решите уравнение x³ + 3x² - 4x - 12 = 0.

Решение:

Данное уравнение является кубическим. Попробуем разложить его на множители методом группировки.

1. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

\( (x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0 \)

2. Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \)

3. Теперь вынесем общий множитель \( (x + 3) \) за скобки:

\( (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \)

4. Разложим выражение \( x^2 - 4 \) как разность квадратов \( (x-2)(x+2) \):

\( (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \)

5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
• \( x + 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = -3 \)
• \( x - 2 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_2 = 2 \)
• \( x + 2 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x_3 = -2 \)

Ответ: x₁ = -3, x₂ = 2, x₃ = -2.