Решите уравнение x^4 = (3x - 4)^2.

Решение:

Нам нужно решить уравнение x^4 = (3x - 4)^2.

Мы можем преобразовать уравнение, взяв квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что квадратный корень из квадрата числа дает нам положительное значение, поэтому мы должны рассмотреть два случая:

1. Случай 1:x^2 = 3x - 4

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

x^2 - 3x + 4 = 0

Теперь найдем дискриминант (D) по формуле D = b^2 - 4ac, где a=1, b=-3, c=4:

D = (-3)^2 - 4 \(\times\) 1 \(\times\) 4 = 9 - 16 = -7

Поскольку дискриминант отрицательный (D < 0), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

2. Случай 2:x^2 = -(3x - 4)

Раскроем скобки:

x^2 = -3x + 4

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 + 3x - 4 = 0

Найдем дискриминант:

D = 3^2 - 4 \(\times\) 1 \(\times\) (-4) = 9 + 16 = 25

Так как дискриминант положительный (D > 0), у нас есть два действительных корня. Найдем их по формуле x = \(\frac{-b - - D}{2a}\):

x_1 = \(\frac{-3 + - 25}{2 \times 1}\) = \(\frac{-3 + 5}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1

x_2 = \(\frac{-3 - - 25}{2 \times 1}\) = \(\frac{-3 - 5}{2}\) = \(\frac{-8}{2}\) = -4

Таким образом, наше уравнение имеет два действительных корня: 1 и -4.

Проверка:

• Для x = 1: 1^4 = 1. \(3 \times 1 - 4\)^2 = (3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1. Верно.
• Для x = -4: (-4)^4 = 256. (3 \(\times\) (-4) - 4)^2 = (-12 - 4)^2 = (-16)^2 = 256. Верно.

Ответ: 1; -4.