Решите уравнение: x^4 = (4x - 5)^2.

Решение:

Данное уравнение можно переписать в виде:

\[ x^4 - (4x - 5)^2 = 0 \]

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = x^2 \) и \( b = 4x - 5 \).

\[ (x^2 - (4x - 5))(x^2 + (4x - 5)) = 0 \]\[ (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x - 5) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый случай: \( x^2 - 4x + 5 = 0 \)

   Найдём дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \]

   Так как \( D < 0 \), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

2. Второй случай: \( x^2 + 4x - 5 = 0 \)

   Найдём дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

   Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.

   Найдём корни по формуле:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) = \(\frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1}\) = \(\frac{-4 - 6}{2}\) = \(\frac{-10}{2}\) = -5 \

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -5.