Решите уравнение (x² - 49)2 + (x² + 4x - 21)2 = 0.

Привет! Давай разберем это уравнение вместе.

У нас есть сумма двух квадратов, которая равна нулю:

• \[ (x^2 - 49)^2 + (x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \]

Сумма квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю. То есть:

• \[ x^2 - 49 = 0 \]
• \[ x^2 + 4x - 21 = 0 \]

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

1. Первое уравнение:\[ x^2 - 49 = 0 \]

   Это разность квадратов. Мы можем представить 49 как $$7^2$$.

   • \[ x^2 - 7^2 = 0 \]
   • \[ (x - 7)(x + 7) = 0 \]

   Отсюда получаем два корня:

   • \[ x - 7 = 0 \] => \[ x = 7 \]
   • \[ x + 7 = 0 \] => \[ x = -7 \]
2. Второе уравнение:\[ x^2 + 4x - 21 = 0 \]

   Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта ($$D = b^2 - 4ac$$).

   Здесь $$a = 1$$, $$b = 4$$, $$c = -21$$.

   • \[ D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-21) \]
   • \[ D = 16 + 84 \]
   • \[ D = 100 \]

   Теперь найдем корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:

   • \[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \times 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
   • \[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \times 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Чтобы исходное уравнение было верным, значение $$x$$ должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Мы ищем общее решение для обоих уравнений.

Корни первого уравнения: $$7$$ и $$-7$$.

Корни второго уравнения: $$3$$ и $$-7$$.

Единственное значение $$x$$, которое присутствует в обоих наборах корней, это $$-7$$.

Ответ: $$-7$$