Решите уравнение x⁴ + 4x² - 12 = 0.

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 4y - 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):

1. \( x^2 = 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm \sqrt{2} \)

2. \( x^2 = -6 \) \( \Rightarrow \) Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются \( \sqrt{2} \) и \( -\sqrt{2} \).

Ответ: \( x = \pm \sqrt{2} \).