Решите уравнение x³ + 4x² - 4x - 16 = 0.

Решение:

Данное уравнение является кубическим. Попробуем разложить его на множители методом группировки.

1. Сгруппируем члены уравнения:



\[ (x^3 + 4x^2) - (4x + 16) = 0 \]

2. Вынесем общий множитель из каждой группы:



\[ x^2(x + 4) - 4(x + 4) = 0 \]

3. Вынесем общий множитель \( (x+4) \) за скобки:



\[ (x+4)(x^2 - 4) = 0 \]

4. Разложим разность квадратов \( x^2 - 4 \) на множители:



\[ (x+4)(x-2)(x+2) = 0 \]

5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:



\( x + 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x_1 = -4 \)




\( x - 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x_2 = 2 \)




\( x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x_3 = -2 \)

Ответ: x₁ = -4, x₂ = 2, x₃ = -2.