Решите уравнение: x^6 = (6x - 5)^3.

Решение:

Данное уравнение является уравнением вида a^n = b^m. В нашем случае n = 6 и m = 3. Для решения подобных уравнений, можно привести степени к общему основанию или использовать свойство равенства степеней.

1. Приведем обе части уравнения к третьей степени. Так как x^6 = (x^2)^3, получим: (x^2)^3 = (6x - 5)^3.
2. Из равенства кубов следует, что основания равны: x^2 = 6x - 5.
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: x^2 - 6x + 5 = 0.
4. Решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант:
• a = 1, b = -6, c = 5.
• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16.
• √ D = √ 16 = 4.
• Найдем корни:
• x_1 = \(\frac{-b + √ D}{2a}\) = \(\frac{6 + 4}{2 · 1}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5.
• x_2 = \(\frac{-b - √ D}{2a}\) = \(\frac{6 - 4}{2 · 1}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1.

Ответ: x₁ = 5, x₂ = 1.