Решите уравнение (x² – 64)² + (x² + 5x - 24)² = 0.

Решение:

Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Следовательно, система уравнений будет выглядеть так:

\( x^2 - 64 = 0 \)

\( x^2 + 5x - 24 = 0 \)

1. Решим первое уравнение:

\( x^2 - 64 = 0 \)

\( x^2 = 64 \)

\( x = \pm\sqrt{64} \)

\( x = 8 \) или \( x = -8 \)

2. Проверим, подходят ли эти значения ко второму уравнению:

Подставим \( x = 8 \) во второе уравнение:

\( 8^2 + 5 \cdot 8 - 24 = 64 + 40 - 24 = 104 - 24 = 80 \)

\( 80 \neq 0 \), значит, \( x = 8 \) не является решением.

Подставим \( x = -8 \) во второе уравнение:

\( (-8)^2 + 5 \cdot (-8) - 24 = 64 - 40 - 24 = 24 - 24 = 0 \)

\( 0 = 0 \), значит, \( x = -8 \) является решением.

3. Решим второе уравнение отдельно (для полноты картины):

\( x^2 + 5x - 24 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Уравнение \( x^2 + 5x - 24 = 0 \) имеет корни \( x = 3 \) и \( x = -8 \).

4. Сравним корни обоих уравнений.

Общим корнем для обоих уравнений является \( x = -8 \).

Ответ: x = -8.